お待たせしました第八回です
前回はドラフトの勝敗数期待値は３勝３敗ではないというお話しをしましたが
今回はそのことについて詳しくお話ししましょう
７勝するか３敗するかで終了のドラフトルールでは勝敗数のパターンが多くてややこしいので
まずは２勝するか１敗するかで終了するというゲームのモデルを考えてみましょう
勝率が５０％であると仮定されている人が２試合を行った際の勝敗パターンは
勝勝・勝負・負勝・負負の全４パターンですね
しかし１敗すると次の試合は行われないというルールなので実際のところは
勝勝・勝負・負無・負無（無＝試合なし）になりますね
この４つは同様に確からしいのでそれぞれの確率は２５％。つまり
２勝０敗……２５％ １勝１敗……２５％ ０勝１敗……５０％
となります
なので勝利数の期待値は２＊０．２５＋１＊０．２５＋０＊０．５０＝０．７５（勝）となります
（ちなみに勝敗数の期待値は０．７５勝０．７５敗になります。まあ勝率５０％の人がモデルなので当然と言えば当然なのですが）
たとえ勝率５０％の人でも試合の打ち切り条件があるため１勝１敗が期待値にならないですね
さて、これを元にドラフトの期待値を求めようと思うんですが
ドラフトの最多試合パターンは７勝２敗または６勝３敗の９試合
途中で試合が打ち切られるパターンも含めて9試合の勝敗パターンを書き出そうとすると
２^９＝５１２通りあります
流石に全部書き出すのはしんどいのでこういうものを用意しました
勝敗マップです。最初はわかりやすいように全２試合バージョンにしています
まずは縦一列、横一列に「１」と書き込みます
この表を見ると何勝何敗のパターンが何通りあるのかがわかります
例えば０勝２敗の場合は０勝の列、２敗の行にある数字を見に行って
そこに「１」と書かれているので１パターンです
では１勝１敗だとどうなるのかというと
１勝１敗するには１勝０敗か０勝１敗の状態から来るしかありません
なので1勝０敗の1パターンと０勝１敗の１パターンを足して２パターン
という風になります
それでは全９試合が出来るように表を拡大します
こうなりますね
しかしお気づきの方も多いと思いますが
０勝９敗や９勝０敗なんてパターンは存在しない
それどころか３敗するか７勝するとドラフトが終了するので
この表にはドラフトで存在しない勝ちパターンがある
その通りです。それでは３敗するか７勝したときに
別の道に行かないように通り道を取り外しましょう
するとこうなりました
すっきりしましたね
それではルールに従って数字を入れていきましょう
こうなりました
この表を見れば例えば３勝３敗が１０パターン、７勝２敗が２８パターンあることがわかります
ただし今回は存在しないルートを消し去っているので
それぞれのパターンになる確率は同様に確からしくないということは注意してください
ではそれぞれのパターンな確率はいかほどかというと
例えば０勝３敗の場合は全部で３試合行っているので
１パターン当たりの確率は(1/2)^3=1/8です
同様にして４試合している場合は1/16、５試合している場合は1/32
これが１パターン当たりの確率になります
これでそれぞれの勝敗パターンになる確率がわかるので期待値が求められますね
では結論です
勝率５０％であると仮定した人のドラフトの勝ち数の期待値はこうなります
小数に直すと約2.8671875勝です
続いて得られるジェムの期待値
得られるパック数の期待値
以上からドラフトの期待値は約2.8671875勝、約347ジェム、約1.3274609375パックです
ストア基準だと３パック６００ジェムで購入できるので１パック２００ジェムとすると
パック換算すると約３パックになりますね
これプラス４２枚のピックしたカードが手に入ることを考えると
著者的には５０００ゴールドを使って５パックを購入するよりかはお得な気がします
もちろん勝率５０％の人がモデルなのでそれより勝率が低ければ期待値はこれより低くなりますし
勝率が５０％より高ければ期待値は高くなりますのでどちらが得かは人によると思いますが
この記事が一つの判断基準になってくれたら幸いかと思います
それでは今回は以上になります。お疲れさまでした。
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